Теория: определения

  • Делимость. целое число a делится на целое число b не равное 0, если существует такое целое число c, что выполняется равенство: a=b⋅c.
  • Делитель и Кратное - Если b:a, то b называется делителем числа a, и число a называется кратным числа b.
  • Простое число - натуральное число, имеющее ровно два различных делителя: 1 и само себя.
  • Составное число — натуральное число с более чем двумя делителями.

Теория: признаки делимости

  • На 2: последняя цифра чётная или 0.
  • На 3: сумма цифр делится на 3.
  • На 4: число из двух последних цифр делится на 4 или оканчивается на 00.
  • На 5: последняя цифра 0 или 5.
  • На 6: делится на 2 и на 3.
  • На 7: Число делится на 7, если результат вычитания удвоенной последней цифры из числа без последней цифры делится на 7.
  • На 8: Число делится на 8, если три последние цифры образуют число, делящееся на 8, или оканчиваются на 000.
  • На 9: сумма цифр делится на 9.
  • На 10: число оканчивается на 0.
  • На 11: Число делится на 11, если разность между суммой цифр на нечётных позициях и суммой цифр на чётных позициях делится на 11 (включая 0).
  • На 12: Число делится на 12, если оно делится одновременно на 3 и на 4.
  • На 13: Число делится на 13, если число десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, делится на 13.
  • На 14: Число делится на 14, если оно делится одновременно на 2 и на 7.
  • На 15: Число делится на 15, если оно делится одновременно на 3 и на 5.
  • На 16: Число делится на 16, если четыре последние цифры образуют число, делящееся на 16.
  • На 17: Число делится на 17, если разность числа десятков и упятерённого числа единиц делится на 17.

Задачи на делимость

Задача 1. Делится ли число 12345 на 3?

Сумма цифр: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. Так как 15: 3 = 5, число делится на 3. Ответ: да.

Задача 2. Найдите все цифры, которые можно подставить вместо звёздочки в числе 47∗2, чтобы оно делилось на 4.

По признаку делимости на 4 последние две цифры должны образовывать число, делящееся на 4. Здесь это ∗2. Перебираем возможные варианты: - 02÷4=0,5 — не делится. - 12÷4=3 — делится. - 22÷4=5,5 — не делится. - 32÷4=8 — делится. - 42÷4=10,5 — не делится. - 52÷4=13 — делится. - 62÷4=15,5 — не делится. - 72÷4=18 — делится. - 82÷4=20,5 — не делится. - 92÷4=23 — делится. Ответ: 1, 3, 5, 7, 9.

Задача 3. Проверьте, делится ли число 5346 на 6.

Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться и на 2, и на 3: Делимость на 2: последняя цифра 6 — чётная → делится на 2. Делимость на 3: 5+3+4+6=18, 18÷3=6 → делится на 3. Ответ: да.

Задача 4. Определите, делится ли число 2547039 на 11.

Применяем признак делимости на 11: разность суммы цифр на нечётных позициях и суммы цифр на чётных позициях должна делиться на 11. Нечётные позиции (слева направо): 2, 4, 0, 9 → 2+4+0+9=15. Чётные позиции: 5, 7, 3 → 5+7+3=15. Разность: 15−15=0. Так как 0 делится на 11, то и число делится на 11.

Задача 5. Найдите наименьшее четырёхзначное число, которое делится на 15.

Число делится на 15, если оно делится на 3 и на 5: Наименьшее четырёхзначное число — 1000. Оно делится на 5 (оканчивается на 0), но сумма цифр 1+0+0+0=1 не делится на 3. Следующее число, кратное 5, — 1005. Проверяем Оканчивается на 5 → делится на 5. Сумма цифр: 1+0+0+5=6, 6÷3=2 → делится на 3. Ответ: 1005.

Задача 6. Делится ли 2468 на 4?

Последние две цифры — 68. Так как 68 4 = 17, число делится на 4. Ответ: да.

Олимпиадные задачи на делимость

Задача 1 (олимпиада). Докажите, что произведение любых пяти последовательных натуральных чисел делится на 120.

Разложим 120 на простые множители: 120=2 3 ⋅3⋅5. В любых пяти последовательных числах: обязательно есть число, кратное 5; обязательно есть хотя бы одно число, кратное 3; есть как минимум два чётных числа, одно из которых делится на 4 (даёт 2 2 ), а другое — на 2 (даёт ещё одну двойку). Итого получаем: множитель 5 (кратное 5); множитель 3 (кратное 3); множители 2 3 (чётные числа: одно делится на 4, другое на 2). Таким образом, произведение содержит все множители 2 3 ⋅3⋅5=120. Ответ: доказано, что произведение пяти последовательных натуральных чисел всегда делится на 120.

Задача 1 (олимпиада). Докажите, что для любого натурального числа n выражение n3+(n+1)3+(n+2)3 делится на 9.

Раскроем кубы: n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8)=3n3+9n2 +15n+9. Вынесем общий множитель: 3(n3+3n2+5n+3). Докажем, что n3+3n2+5n+3 делится на 3. Рассмотрим остатки от деления n на 3: Если n≡0(дел. 3), то n3+3n2+5n+3≡0+0+0+0≡0(дел. 3). Если n≡1(дел. 3), то 1+3+5+3=12≡0(дел. 3). Если n≡2(дел. 3), то 8+12+10+3=33≡0(дел. 3). Таким образом, n3+3n2+5n+3 всегда делится на 3, а исходное выражение — на 3⋅3=9. Ответ: доказано, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел всегда делится на 9.

Задачи из ЕГЭ (база) на делимость

Задача 1 (ЕГЭ). Приведите пример трёхзначного числа, которое делится на 6 и оканчивается на 4.

Число делится на 6, если делится на 2 и на 3. Последняя цифра 4 — чётная, значит, делится на 2. Сумма цифр должна делиться на 3. Пример: 114 (1 + 1 + 4 = 6). Ответ: 114.

создатели: Шаудинис Павел

помогали: Кучин Игорь(информация), Жуков Алексей(информация)